[수학적 사고 소개] 3. 양화사 부터 증명까지

 

 

 

 

 

 

1. 양화사 = 한정자 (Quantifier)

이전 강의에 이어서 한정자에 대한 예제와 수학적으로 한정자를 이해하는 법에 대해서 지속적으로 강조하고 있다. 

https://bite-sized-learning.tistory.com/367

 

 

1. 전체한정자 : 모든 원소가 그 명제를 참으로 만족할 경우에만 명제함수가 참, 논의영역에 있는 원소중 하나라도 그 명제를 거짓으로 만들면 F 이다.

 

2. 존재한정자 : 논의영역에 있는 원소 중 하나라도 명제를 참으로 만족하면, 그 명제함수는 참이 된다.

 

 

1. 한정자

2. 부정

3. 접속사

4. 논리합과 함

 

 

3장에서는 위와 같이 전체한정자, 존재한정자를 통해 명제를 만족하는것을 알려주고 있다.

위와 같이 부정을 통해서 for all 을 만족하는 것, 그리고 2번과 같이 for all을 충족하는 자연수를 검증하고 있다.

 

그리고, 한정자와 [소괄호]를 통해서 해당 문장을 올바르게 수식화하여 찾는 것 또한 알 수 있다. (For all x)  [Tall(x) OR short(x)] 은 위와 같이 기호를 통해 올바르게 한정자를 표현하고 있다.

 

위의 내용에서는 한정자를 통해 언어를 전개하는 법에 대해 친숙해지는 법을 가르치고 있다.

 

2. 증명 (Proofs)

 

증명이란 것은 해당 논제의 사실을 밝히는 것, 그리고 왜 사실인지를 설명하는 것 이다. 증명이 중요한 이유는 체계적인 사고 방식을 갖게 해주기 때문이다.

 

Theorem(증명) 하는 법을 아래와 같이 전개하여 보여주고 있다. 루트 2 는 무리수라는 것을 증명하는 것을 단계별로 표현하고 있다. 

 

위와 같이 증명은 논리적 단계이며, 해당 단계처럼 전개할 수 있어야 함을 강조하고 있다. 그리고 모든 단계가 산술적 단계이며 따라가기 쉽기 때문에 증명의 좋은 예제라고 설명하고 있다. 그리고, 중요한 점은 루트2가 유리수라는 것을 가정으로 증명 단계를 밟아나가고 있다. 이게 왜 거짓인지를 증명하고, 그 반대의 증명을 채택하는 방식 등으로 전개하고 있다.

 

 

위의 논증 방법을 단계별로 설명하고 있는데, 명제 Phi를 증명하기 위해선 Phi가 아님을 증명하고, 그리고 그 가정의 거짓을 증명하지 못하면 처음 명제 Phi의 사실을 증명하는 추론과정을 거치고 있다.

 

 그리고, 해당 강의에서는 루트3가 왜 무리수인지를 증명하라고 설명한다. 해당 강의에서 계속 강조하는 수학적 사고방식인 논리적이고 단계별로 접근하는 방식의 중요성을 한번 더 언급하고  있다.

 

 

그리고, x,y 가 유리수 일 때 x+y 도 유리수임을 증명하기 위한 것을 아래와 같이 단계별로 설명하고 있다.

 

1. 가정 을 한다.

2. 의사소통 관점에서 가정을 적고 시작한다.

3. 그리고, 쉽게 이해할 수 있는 방식으로 추론하고 결론을 제안한다.

 

해당 방식으로 Proofs(증명) 하는 것읗 해당 강의에서는 강조하고 있다. 

 

 

해당 Theta 예제를 증명하기 위해서도, 반대가정을 제안한다. 그리고, 대우(contropositive)를 통해 해당 가정이 실제인지 거짓인지를 증명하고 있다.