[수학적 사고 소개] 2. 언어를 수식으로 전개하는 법

 

해당 글은코세라의 스탠포드  수학적 해석 강의를 참고하였습니다.

 

 

 

 

0. 내용

 

이전 강의에서 수학적 해석학이 왜 중요한지에 대해 배웠다. 그렇다면, 실제 언어를 수식적으로 분해하면 어떻게 표현할까? 여기에는 함의(Implcation) 혹은 정의(=>) 라고 부르는 방법이 적용된다. 예를 들어, 강아지(Dog)는 동물(animal)이다. 는 Dog => Animal 이라고 정의하는 것 처럼 말이다. 그리고, 이를 부정(Negation) 할수 있는데, NOT [Dog ^ Animal] 등으로 표현할 수도 있는 것 이다. 해당 강의에서는 언어를 수학적으로 해석하는 방법으로서 함의와 동등 그리고 부정 등에 대해서 배울 수 있었다.

 

1. 함의(Implication)

 

수학에서 흔히 함의한다. 라는 단어를 볼 수 있는데, Implication Involes causaility 을 의미한다. 수학적으로 해석 할때, Julia Caesar is dead OR (1+1 =3)은 disjunction(논리합) 에 따라 적어도 1개 이상의 참이 있기 때문에 True 가 된다. 

 

그러나, implication = conditional + causation 을 함께 구성한다고 할 수 있다. 그리고, Notation 으로서는 조건부(conditional) 은 =>(notation)을 의미한다. 그리고, 해당 강의에서는 조건부(conditional)로 Implcation 을 정의하기 위해 인과관계는 제거하기 위해서는 the truth of Phi and Psi(하단부 이미지)로 설명한다고 한다.

 

코세라 - 스탠포드 수학적 사고 소개 참고

 

 

위에서 조건부는 => 을 의미한다고 말했다. 함의는 조건부 + 인과관계가 포함된 것이다. 위의 예제에서
(Julius caesar is dead) => (Phi >3) 은 함의가 아닌, 단지 함의의 진리값(truth part) 을 의미한다.

 

 

위의 수식을 단계별로 접근하면,

 

1. N > 7 보다 크고 N^2 > 40 보다 큰 것은 조건부 작동 방식이 작용한다.

2. 그러나, 줄리어 시저의 예시는 조건부는 작용은 참이지만, 사실 아무 관계가 없다.

 

함의(Implication) 관점에서는 아무 관계가 없어도 진리값(truth part)이 정의되기 때문이다. 순수하게 정의된 진리값 이라는 개념이다. 수학적에서는 사실 두번째 방식은 일반적이진 않지만, 수식으로 정의하고 개념을 확장 시킬 수 있는 것이다. 

 

 

해당과 같은 Implication 은 논리적 추론을 위하여 중요하다. 원인과 결과 혹은 전자와 후자의 조건부 관계를 바탕으로 대화, 추론 작업등에 필요하기 때문이다.

 

 

그리고 iff는 if and only and if로 같은것(equivalent)을 의미한다. 해당과 같은 수식은 수학의 기초이자 개념을 확장하기 위한 첫 걸음이다.

 

 

그리고, 위에서 배운 내용을 기반으로 필요충분 조건을 판단하는 것 또한 요구하고 있다. 중요한 점은 문장을 수학적으로 구분지어 조건(if) 와 선행(antecedent) 후행(consequent)를 판단하는 능력을 요구하고 있다.

 

 

수학의 중심에는 함축과 동등이 중요하다는 것을 해당 강의에서는 강조하고 있다.

 

 

1-1. 필요충분조건

 

해당 강의는 또한, 필요충분조건에 대해 설명하고 있는데,충분조건은 반례(예외)가 없다는 말과 같다. 

반면, 필요조건은 명제 P가 성립하면 명제 Q가 참이 될 때 명제 Q를 가리킨다.

필요조건은 이 조건을 충족하면(참) 그 결론은 참일수도, 거짓일수도 있지만 이 조건을 충족시키지 못하면 그 결론은 반드시 거짓이 된다는 것 이다.

 

그리고, 해당 강의에서는 증명을 검증할 때 평가 기준표(?) 로 시험 결과를 평가하는데 아래 방식으로 증명의 총합 평가를 내린다고 한다.

 

증명, 명확성, 열려있는 사고방식, 결론 짓기, 이유(REASONS) 로 해당 강의의 종결시험을 평가한다. 이걸 보고 든 생각은 단순 시험을 넘어, 누군가와 대화하고 문서를 작성하는 언어 또한 논리적으로 이 구조를 따라 설명하고 이해시켜야 한다고 생각이 들었다.

 

2. 부정(Negation)

 

위의 문제들은 함의를 통해 문장을 수학적으로 표현한 것이다. 위와 같이 논리적 전개를 수식적으로 풀 수 있다. => 라는 표시를 통해 뒷 문장을 함의 혹은 정의한다로 표현한다. 그리고, 두 가지 조건을 만족하는 방법과 부정하는 방법으로 언어를 수식적으로 표현하고 있다.

 

 

그리고 함의를 부정(negation) 할 때, 언어 혹은 수식적으로 이를 어떻게 표현하는지에 대해 설명하고 있다.

 

3. 한정자 (Quantifier)

 

한정자 라는 것은 변수의 범위를 지정해주는 것 이다. 명제는 참과 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 수식을 의미한다. 변수를 포함하는 명제도 존재할 때, 변수에 들어가 있는 값에 따라서 참과 거짓을 판별할 수 있다면 역시 명제라고 할 수 있다. 하지만, 변수를 포함한 명제의 참과 거짓을 판별하려면 변수는 논의영역을 지정해줘야 한다. 이를 정의하기 위해 한정자를 사용해야 한다. 

 

https://bite-sized-learning.tistory.com/367 ( 참조하였습니다 )

 

 

https://bite-sized-learning.tistory.com/367 ( 참조하였습니다.)

 

해당 강의에서는 eixsts, for all 로 한정자를 표현된다. 존재한정자(E) 는 결국 그 원소 중, 하나라도 명제를 참으로 만족하면 그 명제함수는 참이 된다는 것 이다.  

 

 

그리고, 존재한정자에 대해 익숙해지기 위해 위와 같은 표기법으로 설명하고 증명한다. root 2 가 유리수인지를 증명하는 것 등을 예시로 설명한다. 이것은 거짓명제이지만 예시로 사용하고 있다. 그리고 왜 이것이 거짓명제이고 p와 q가 해당 명제를 만족하지 못하는(F) 인지를 증명하고 있다.

 

 

그리고, 위와 같이 All 을 의미하는 한정자가 존재한다. 그리고 이는 모든 조건을 충족하는 변수 혹은 명제를 의미하는 것 이다.

 

 

해당 명제 또한, 한정자(Exist, all)에 따라 명제가 T 를 만족했다가 F가 되는 것을 알 수 있다. 

 

그리고 위와 같이, 필요충분조건에 따라 어떤 한 조건을 만족했을 시 다른 조건도 만족(함의)하는 것을 위와 같이 수학적 해석학으로 표현하는 것이 궁극적으로 이번 강의의 목적이다.

4. 결론

 

해당 강의는 수학적 해석을 위해 함의, 부정, 한정자등을 활용하여 언어를 수학적으로 표기하는 법을 알려주고 있다. 이와 같은 이유는 1장에서도 언급했듯 언어의 모호성을 제거하고, 논리적으로 언어를 분해하여 사고하는 법을 알려주기 위함이다. 그리고 그를 위해 수학적 표기법과 친해지는 것을 알려주고 있다.

 

 

* 모든 강의자료와 저작권은 해당 강의에 있음을 밝힙니다. 또한, 해당 강의를 참고하였습니다.

* 참고 : Introduction to Mathematical Thinking