[수학적 사고 소개] 1. 수학적 사고 능력은 왜 중요한가?

해당 강의는 코세라의 스탠포드 수학적 해석 강의를 참고하였습니다.

 

 

0. 계기

데이터 및 AI를 업으로 삼고 있지만 수학은 나에게 항상 어렵다. 중고등학교 수학을 피해 문과로 도망 갔으나 데이터와 통계 매력에 빠져 데이터 분석 및 과학을 하고 현재 하고 있다. 수식과 개념을 언어로 풀어 쓰고 이해하는 나는 가끔 내가 모르는 수식과 수학적 표기법을 인문학(?) 적으로 해석한다. 이 방법은 확통을 모르는 누군가에게 쉽게 설명하는데 큰 도움이 되지만, 정작 공부하는 나에겐 곤혹일때가 많다.

 그런 문제점을 직면하고 해결하고자 나는 수학을 놓지 않고 있다. 궁극적으로 나는 이 업계에서 누군가에게 좋은 영향을 미치는 사람이 되야 하는데, 언제까지만 피할 순 없으니 말이다.

 그리고, 수학적 사고 능력이 중요한 이유는 문제해결 능력을 길러주는데 도움이 되기 때문이다. 수학을 잘한다는 것은 단순 계산과 머리가 똑똑한 것을 의미한다고 생각하지 않는다. 수학을 잘하는 것은 본인이 직면한 문제를 얼마나 체계적으로 접근하고 과정을 진행하는 능력이라 생각한다.

 그리고, 확률론적 머신러닝(케빈 머피) 책을 공부하며 아직 부족한 점을 많이 느꼈다. 그래서 이번 기회에 수학을 다시 공부하고 수학적 사고와 해석 능력을 기르기 위해 해당 강의를 공부하게 되었다. 좋은 동료들과 함께 하니 아마도 완독과 성장 할 내 모습이 기대 된다.

 

1. 수학의 본질 부터 역사

 

학교에서 수학을 배우지만, 수학이 실제로 무엇인지 탐구하는 경우는 드물다. 수학의 다양한 절차를 배우고 문제를 푸는 것이 주된 우리 교육 목표이지만 이는 수학이 무엇이고 왜 중요한지를 놓치기 쉽다.

 

수학의 중요성은 현대 사회에서 크게 강조하지만 교육은 오래된 내용에 머물러 있다. 특히 오늘날 널리 사용되는 수학은 대부분 100년 이내에 개발 된 것이다. 수학은 약 10,000년전 숫자와 산술의 발명으로 시작되었고 고대 문명에서는 주로 실용적인 도구로 사용 되었다. 그리스 시대 수학은 체계적인 논리적 증명과 이론적 탐구의 영역으로 발전했다. 이때, 등장한 유클리드의 원론 은 수학적 사고의 기초를 제공했다.

17세기 이후 미적분과 확률 이론의 등장으로 수학은 더욱 발전 했으며, 현대 수학의 많은 부분은 지난 200년 동안 개발 된 것이다.

 

2. 수학의 본질

수학의 본질은 패턴을 연구하는 학문이다. 예를 들어, 산술 및 수론은 숫자 세기와 수의 패턴을 연구하고 있다. 

 

1. 기하학은 모양의 패턴을 연구한다.

2. 미적분은 운동의 패턴을 처리할 수 있게 해준다.

3. 논리는 추론의 패턴을 연구

4. 확률이론은 확률 패턴을 연구

5. 위상수학은 유사성 및 위치의 패턴을 연구

6. 프랙탈 기하학은 자연에서 발견되는 닮음을 연구

7. 그 외 등등.. 증가하는 추상하는 패턴들을 수학을 통해 구조를 분석하고 해석할 수 있다.

 

 

 

3. 수학적 표기법

현대 수학에서 추상적인 패턴을 다루기 위해 복잡한 기호가 많이 사용된다. 수학적 표기법은 음악의 악보처럼 수학을 효과적으로 표현하고 분석하기 위한 도구일 뿐이며, 수학 자체는 그 기호를 통해 생동감 있게 살아나는 개념이다. 17세기 갈릴레오의 "자연의 책은 수학의 언어로 쓰여 있다"는 말처럼, 수학은 보이지 않는 세상을 이해하는 도구다.

 

4. 근대 수학의 변화 > 현대 대학 수학과 사고 전환

 

19세기 중반부터 수학은 계산 중심에서 추상적 개념 중심으로 변모했다. 수학자들은 수학적 직관만으로는 해결할 수 없는 복잡한 문제들을 다루기 위해 개념적 접근을 발전시켰다. 이 변화는 계산보다는 개념을 이해하는 것이 중요해지는 수학의 새로운 시대로 이어졌다.

 

현대 대학수학은 수학적 개념을 이해하고 논리적으로 추론하는 능력을 중시한다. 이는 단순한 계산에서 벗어나 수학적 사고 방식을 개발하는 과정으로 변했다. 이러한 사고 전환은 21세기 산업사회에서 필요한 혁신적인 수학적 사고를 요구하며, 교육에서도 이에 맞춘 개념적 사고를 강조해야 한다는 주장이다.

 

무엇보다, 수학은 계산을 위한 학문이 아닌 현실의 문제를 추상적 개념으로 바꾸고 이를 해결하는 사고 방식이다. 이것이 수학의 진정한 힘이며, 특히 오늘날 빠르게 변화하는 사회에서 다양한 분야에 적용할 수 있다는 점이 가장 중요하다.

 

가장 중요한 것은 문제 해결을 넘어 새로운 사고방식을 익히는데 큰 도움이 된다고 말하고 있다.

 

5. 강의

 

해당 강의에서는 수학적으로 문제를 해결하고, 증명하고 그 이유를 찾는 도출 방법에 초점을 맞춘다. 무엇보다, 빠르게 문제를 풀기보다는 시간이 걸려도 단계별로 수학적 문제를 해결하는데 초점을 맞추고 있다. 예를 들어, 소수의 List를 정의하는 방법 등을 설명하는 것이 그 예시로 들 수 있겠다.

 

 특히, 수학은 정확한 표현을 위해 많은 언어적 모호성을 제거하는데, 그 이유가 매우 제한된 방식으로 언어를 표현하기 때문이라 말하고 있습다.  명제, 공리, 추측, 가설과 이론은 네가지 언어중 True, False를 통해 언어를 표현하고 있기 때문이라 한다.

 

무엇보다, 해당 강의에서는 모호함을 제거하고, 수학적으로 구분지어 이해하는 사고력에 대해 강조하고 있다.

예를 들어, 하단부의 뜻은 2가지 ambiguous 한 의미를 가지고 있는데. 이를 구분지어 해석하도록(수학적이라면 기호로 표시하는 것) 해당 방법으로 이해하고 사고하는 것을 강조하고 있다.

 

 

 

1. "어떤 머리 부상도 너무 사소해서 무시할 수 없다"

2. "어떠한 머리 부상도 너무 사소하지 않다."

 

라는 두 가지 의미로 읽혀지다보니, 수학적 해석학에서는 해당 문장도 명확하게 구분지어 해석하는 사고방식을 기르라고 말하고 있다.

 

 

AND(=^), Conjuction 그리고 두 인자 모두 참이여야 참이다.

OR(=v), disjuntion 또는은 두 인자 중 적어도 하나가 참이다.

NOT(~) : not(negative) 는 True 의 부정은 False 이다. 해당 강의에서 중요한건 Not을 ~로 표시하지 않고 싶었다는 점 이다.

 

해당 강의에서 강조하는 것은 인문학적이나 글로 명확하지 않은 것을 수학적으로 해석하고 명확하게 해석하는 사고 방식을 강조하고 있다.

 

* 모든 강의자료와 저작권은 해당 강의에 있음을 밝힙니다. 또한, 해당 강의를 참고하였습니다.

* 참고 : Introduction to Mathematical Thinking