[수학적 사고 소개] 5. 정수론(Number Theory)

1. 정수론

 

정수론(Number Theory)은 수학에서 가장 오래되고 깊이 있는 분야 중 하나로, 주로 정수(integer)의 성질을 연구하는 분야이다. 목표는 주어진 수체계에서 정수의 기본적 특성과 그들 사이의 관계를 이해하는 데 있다. 특히 소수(prime numbers), 약수(divisors), 배수(multiples), 그리고 합동식(congruences) 등 정수와 관련된 주제를 다룬다고 한다.

 

정수론은 크게 다음과 같은 세부 분야로 나뉠 수 있는데

1. 초등 정수론 (Elementary Number Theory): 가장 기본적인 개념과 방법을 다루며, 소수와 약수, 최대공약수와 최소공배수, 그리고 합동식 등을 포함한다. 초등 정수론에서 다루는 문제는 증명과 계산이 비교적 간단하지만 매우 흥미롭고 깊이 있는 질문들이 많다고 하는데 예를 들어, "무한히 많은 소수가 존재하는가?"와 같은 질문이 있다.
2. 해석적 정수론 (Analytic Number Theory): 수론 문제를 푸는 데 해석학(미적분학과 복소함수론 등)의 기법을 사용하는 분야이다. 소수의 분포를 연구하는 리만 가설(Riemann Hypothesis)이나 소수 정리(Prime Number Theorem) 등이 여기에 속한다. 내가 현재 4장까지 증명한 소수 정리등이 이에 속한다.
3. 대수적 정수론 (Algebraic Number Theory): 수체계와 그 위의 대수적 구조를 연구하며, 대수적 수체와 이데알(ideal), 갈루아 이론 등을 다룬다. 이 분야는 특히 방정식의 정수해를 찾는 데 중요한 역할을 한다고 한다.
4. 기하학적 정수론 (Geometric Number Theory): 정수를 기하학적 관점에서 이해하려는 분야로, 특히 격자(lattice)와 공간에서의 정수 구조를 연구한다고 한다. 디오판토스 방정식(Diophantine Equations)과 같은 문제들도 다룬다고 한다.

그리고, 해당 강의에서는 우선 나눗셈을 증명하는 방법으로 강의를 시작한다. 

 

존재성을 증명하는 방법.

 

고유성을 증명하는 방법.

 

그리고, 나눗셈 혹은 Divisibility(가분성) 증명시 Notation에 대해 주요점을 얘기하는데,

왼쪽 개념 (b | a ) 은 두 정수의 관계성에 대한 True/False 를 설명하고 있다. 반면, 오른쪽( b / a )는 유리수가 되는 특정수에 대한 개념을 얘기하고 있다고 한다.

 

 

나눗셈에 대한 True/False 를 설명하기 위해 b | a iff any q[a=bq] 에 대한 한정자와 수식으로 설명을 하고 있다.  

 

 

N(자연수)와 Z(Integers = 정수) 를 충족하는 모든 n에 대해서 n^2 이 2n으로 나누어지는지에 대한 True/False를 설명하고 있다. 우선 둘 다 거짓! 3 숫자를 대입해보면 알 수 있다.

 

참고로, 위의 나눗셈 증명은 참인데 그 이유는 위에서 배운 True/False 개념으로서 참이기 때문이다.

 

 

해당 강의에서는 위와 같이 나눗셈 혹은 가분성에 대한 증명을 하고 있습니다.