[선형대수학] 벡터(Vector)

 

 

1. 벡터란?

벡터란 정렬된 숫자 목록들을 의미한다. 그러나, 벡터의 특성은 물리적 방향성과 공간을 가지고 있다.

 벡터에서 차원이란, 벡터의 크기이자, 원소의 개수이다. n-vector(벡터의 크기) 라고 표시 할 수 있으며, 그 안의 숫자인 원소들은 scalar(스칼라) 라고 부를 수 있다.

 

n-vecotr 의 i번째 원소는 ai 라고도 표현할 수 있다. 또한, 벡터의 특징상

a = [ b, c, d] 라고 있을 때, b = (x + y + z) 로 구성될 수 있는 다차원 특성을 가진다.

 

그리고, 벡터에서는 0 이 n개 들어있으면 0 vector / 1이 n 개 들어있으면 1 vector 라고 한다. 

여기서, Unit vectore는 원소가 1 이고, 나머지는 0으로 구성된 벡터를 의미한다. 그리고, 앞서 언급한 것처럼 벡터는 물리적 방향성을 가진 것이다. 

 

이와 같이, 3개의 원소를 가진 벡터가 존재한다면, 이처럼 벡터의 크기에 따라 방향성과 크기를 표현할 수 있다.

 

 

2. Sparsity(희소성)

 

벡터의 원소중, 0이 벡터의 대부분을 구성하면 우리는 이를 Sparse 하다고 의미한다. nnz(x) 는 0이 아닌 원소들의 개수를 의미하는 수식이자 노테이션이다. 그리고, Sparse 벡터의 예시로서는 위에서 언급한 0 vectors , unit vectors 가 있다. 벡터 개념에서는 Sparse 한 것은 컴퓨터를 통해 조작하고 저장되기 쉽다고 의미하고 있다. 임베딩 관점으로서 말하는 것 같다.

 

앞서 언급했듯, 벡터는 2D 공간속에서 (X,Y) 축 등으로 설명할 수 있고, 방향성과 크기를 가지고 있다. 그리고, 위의 예시속에서도 X1과 X2가 있지만, 해당 X1 과 X2라는 벡터에 e1, e2를 곱한다면 X1과 X2의 물리적 방향성과 크기를 가질 수 있다. 마치 계수처럼 말이다.

 

3. Vector Addition

 

벡터는 위와 같이 직관적으로 더하고 뺄 수 있다. 또한, commutative , associative 연립방정식의 특성과 동일하다. 

 

또한, 스칼라와 벡터를 곱하면 -2[1,9,6] = [-2, -18, -12] 같은 스칼라-벡터 결합성질을 가지고 있다. 그리고, 이는 연립방정식의 분배법칙을 가지고 있다. 

 

4. Linear Combination

 

 그리고, 벡터의 중요한 컨셉중 하나는 Linear Combination(선형결합) 이다. ( for any n-vector b,) 라고도 말한다.

쉽게 설명하자면, 위에서 배운 Unit vector 합으로 벡터를 구성한다는 의미이다. 

 

 

위 그림과 같이, b라는 벡터는 b1 * e1(유닛벡터) + b2 * e2(유닛벡터) 들의 합으로 구성되어 있다. 각 유닛 벡터의 합은 원본 b 벡터와 동일하다라는 특성이 있다.

 

 

 

벡터의 성질을 활용하여, 이와 같이 좌표상의 거리나 다른 지점 만약 (0,0) 이라고 가정하면 해당 거리에서 p와 q의 거리가 어느정도 되는지도 구할 수 있다.

 

그 외, 참고하면 좋을만한 개념들. 결국 벡터는 한 차원(column) 의 연속적인 값이다. 가로로 쌓이면, 행 벡터 / 열로 쌓여있으면 열벡터이다.

 

 

* 참고 : 선대 1-2강. 행렬과 벡터(링크)

* 김종한 교수님 : 링크

* Introduction Linear Algebra(링크)